Vazio de quê?

Este é último post desta série. Neste post eu inicio uma abordagem que considera o vazio relativo além do vazio absoluto preconizado pela teoria dos conjuntos.

Nos posts anteriores eu preguei a ideia de pararadoxo ou inconsistência da teoria dos conjuntos segundo uma visão prática. Pois bem, aqui vou defender esta ideia prática e de fato fazer com que ela:

1. Englobe qualquer elemento capaz de ser descrito a partir de suas propriedades, e que;
   
2. o estado destas propriedades possam ser transitórios, fazendo com que;
3. conjuntos possam se tornar, dadas suas propriedades, relativamente vazios.

Indo diretamente nas operações:

1. A afirmação ∀A: ∅ ⊆ A é substituida por ∀A: R∅ P⊆ A, onde R∅ é o vazio relativo que tem uma probabilidade P de ocorrer em A.
2. Se A ≠ B, então R∅A ≠ R∅B. Em outras palavras, se A é diferente B, então o vazio relativo de A é diferente do vazio relativo de B.
3. Se A ∩ B = ∅, significa que não há qualquer propriedade em comum entre A e B. Este é o vazio absoluto, pois é o conjunto definido sem qualquer propriedade. Este é o único momento em que veremos a ocorrencia do vazio absoluto.
   
4. A afirmação ∀A: ∅ ⊆ A, não é mais possível, nem quando A estiver relativamente vazio, pois ∅ não tem propriedade alguma, enquanto R∅A ainda mantem todas as propriedades de A.
5. Para que A ⊆ B é preciso que todas as propriedades de A também sejam propriedades de B.
   
6. Se A ∩ B = ∅ e se C ∩ D = ∅, então o primeiro vazio é equivalente ao segundo, pois ambos não têm propriedade alguma.
   
7. ∀A: AU∅ = A, não se aplica.
8. ∀A: A∩∅ = ∅, não se aplica.
9. O vazio abololuto somente exitirá para operações de intersecção entre conjuntos que não compartilham propriedades em comum.
   

Esta lista poderia ser bem extensa, mas o importante é ressaltar a ideia da necessidade de dois vazios. Enquanto o vazio ∅ é ausência de propridades e fruto da operação de intersecção, o vazio R∅ é um estado probabilístico de qualquer conjunto.

Na estória do reino bem distante, os cestos estariam relativamente vazios, R∅REI e R∅RAINHA, logo o matemático não poderia remover as placas!

Até o próximo post.

Vazio de quê?

Neste post eu pretendo consolidar alguns comentários feitos ao longo dos dois últimos posts, além de propor uma abordagem que, ao meu ver, corrige a teoria dos conjuntos fazendo com que não ocorram mais os problemas relatados.

Neste post estou considerando as seguintes afirmações da teoria dos conjuntos:

1. O conjunto vazio é subconjunto de A:
∀A: ∅ ⊆ A
2. O conjunto A é subconjunto do vazio:
∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
3. Conjuntos são coleções de elementos que guardam propriedades em comum. Estes elementos podem ser números, outros conjuntos, maçãs, pêras e etc.

Tomando base as três afimações acima e a nossa estória, então: Quando as cestas se tornaram vazias, imediatamenta a afimação em 2. tornou-se verdadeira, isto levou à ação do matemático da corte.

Discussão

Não estou aqui avaliando o que levou a afirmação: ∀A: ∅ ⊆ A, existe uma justificativa advinda da "teoria ingênua dos conjuntos" e uma outra advinda da "teoria axiomática dos conjuntos", estou sim, avaliando, o efeito prático da afirmação sob o ponto do vista da própria teoria.

Estado estático

Qual é o significado prático para a afirmação ∀A: ∅ ⊆ A?

Ao meu ver, indica que A pode ser tonar vazio. A gurada a potencialidade do vazio. Pois bem, mas quando o conjunto dos inteiros se tornará vazio? A resposta é nunca! Neste caso, a ∀A: ∅ ⊆ A nos conduz a uma interpretação errado de respectivos conjuntos.

Estado dinâmico

Qual é o significado prático para a afirmação ∀A: ∅ ⊆ A?

Como dito anteriormente, significa a pontencialidade do vazio, mas existe um problema com este vazio, pois ele denota o conjunto vazio ∅, neste caso, absolutamente vazio. Neste caso, quando os elementos do conjunto A têm seu estado dinâmico, como na estória, as maçãs para o rei foram consumidas, isto implicou por parte do matemático da corte, a aplicação de ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅ o que na minha interpretação degenerou o conjunto das maçãs do rei.

Questões

1. A teoria dos conjuntos suporta mesmo estados dinâmicos? Faz sentido falar em conjunto de maçãs verdes, por exemplo?

Se a resposta for positiva, então ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅ é um paradoxo, pois o vazio relativo é igual ao vazio absoluto.

Se a resposta for negativa, então estamos diante de uma inconsistência, pois alguns conjuntos absolutamente nunca se tornaram vazios.

2. A teoria dos conjuntos utiliza a afirmação ∀A: ∅ ⊆ A como mero artifício para permitir operações entre conjuntos?

Espero que não, ainda não li nada que afirme, mas tudo está levando a crer que sim. :-(

O próximo post será o último desta série, onde eu proporei uma abordagem que inclue a ideia de potencialidade de vazio e que preserva algumas operações, mas outras não. ;-)

Vazio de quê?

No post passado um fantástico mistério ficou no ar. Afinal, o que teria acontecido com as placas que distinguiam o cesto das pêras do cesto das maçãs. Esta distinção era importante, pois o empregado da corte saberia onde depositar cada respectiva fruta. A seguir está uma possível solução para o mistério.

Como o empregado havia ficado em dúvida em qual cesto por qual fruta, então os cestos deveriam estar vazios, além de estarem sem as placas. O rei e a rainha haviam comidos todos as frutas! Bem, mas isto não explica o sumisso das placas! O pior é que explica, sim!
Acomplanhem a sequência dos fatos: O matemático da corte, que estava precisando de duas plaquinhas, ao ver que os cestos estavam vazios, resolveu retirar as placas. Mas por que ele pode fazer isto? Você vão perguntar. Bem, ele aplicou uma regrinha simples da teoria dos conjuntos. Como os cestos estavam vazios, então eles estão equivalentes, exatamente, ao conjunto vazio, logo para ele que é um excelente matemático, a retirada está plenamente coberta pela teoria dos conjuntos.

Ao considerar o conjunto vazio de modo absoluto, e além, ao considerá-lo contido em todo e qualquer conjunto, a teoria dos conjuntos permite que situações como as da estória anterior possam acontecer. Seguindo a mesma linha da estória, qualquer conjunto que se torne vazio poderia ser substituido pelo conjunto vazio, isto em minha palavras significa que poderiamos "degenerar" todos os conjuntos que atingissem o estado de vazio.

No próximo post, eu vou apresentar uma forma para livrar a teoria dos conjuntos deste incomodo prático.

Aguardo comentários.

Vazio de quê?

Como eu havia prometido, neste post exponho uma abordagem um tanto quanto curiosa sobre a natureza dos conjuntos matemáticos, mais especificamente o conjunto vazio. Vamos revisar a teoria dos conjuntos.

Verificando as propriedades

Para a teoria dos conjuntos: um conjunto é uma coleção de coisas que obedecem as mesmas propriedades. Propriedades são designações bem formadas dos seus elementos. Para sabermos se um elemento pertence a um conjunto devemos verificar se o elemento obedece a propriedade deste conjunto. A volta, se um elemento pertence a um dado conjunto é porque ele tem as propriedades inerentes ao conjunto. É razoável pensar assim, pois de algum modo temos que verificar se o elemento pertence ao conjunto.

Conjunto vazio

A teoria dos conjuntos traz uma noção absoluta de conjunto vazio. O conjunto vazio pertece a todos os outros conjuntos de modo absoluto! Qualquer que seja o conjunto com qualque que seja a propriedade lá está também o conjunto vazio.

Adicionando e removendo elementos

Para adicionarmos um novo elemento a um conjunto é necessário que este elemento tenha a propriedade ou propriedades esperadas pelo conjunto. Pensando assim, quando um elemento deixa de ter as propriedades inerentes ao conjunto, então ele deixa de pertencer.

Um breve, mas poderoso exemplo

Imagine um reino bem distante, nele existe um rei e uma rainha que adoram maçãs e pêras verdes, respectivamente. Todos os dias um empregado vem retirar as maçãs e as pêras que amadureceram e as substituem por maçãs e pêras verdes, cada uma em seu respectivo cesto indicados por uma plaquinha com nome "maçã" e "pêra". Um dia o empregado percebeu que as plaquinhas haviam sumido! E agora, onde eu ponho as maçãs e as pêras?

Esta pequena estória traz um mistério que somente foi possível graças a um aspecto peculiar dos conjuntos vazios. Alguém consegue dizer o que houve para que as placas tivessem sumido?

Aguardo comentários!!